안녕하세요. 흔한 공대생 나부랭이 번개쥐입니다. 벌써 미적분학 네번째 시간이 되었네요.
극한과 연속성에 대한 어느정도의 개념이 잡히셨는지 모르겠네요. ㅎㅎ 오늘은 드디어 미분적분을 직접 해볼려고 해요. 하지만 너무 걱정하지 마시길 매우매우 쉬우니깐요. ㅎㅎ

1. 미분 넌 뭐하는 놈이였지?

혹시 기억하시는 분이 있으실지 모르겠는데 제가 처음 오이갤에 썼던 글에서 소개했던 내용이죠. 한번 복붙을 해보겠습니다.

대부분의 독자들은 맞췄겠죠? 2×110해서 220km입니다. 제가 갑자기 이걸 왜물어봤을까요? 속도라는것은 비율이라는 사실을 알려드리고 싶어서입니다. 여러분 왜 속도에 시간을 곱했지요?? 그건 속력이 일정 시간당(여기선 한시간당이 되겠군요) 이동거리라는 사실을 정확하게든 아니면 감으로든 알고 계셨으니 그렇겠지요. 즉, 일정시간당 이동거리의 비율이 바로 속력이 되는겁니다.
 아 여기서 백스페이스 누르시면 안됩니다. 기분 전환도 할겸 롤얘기나 한번 하고 가지요. ㅋㅋ 요새 미드라이너들은 정말 cs를 잘먹지 않습니까? 분당 10cs는 기본이지요? 이런 파밍메타덕에 직스는 맨날 나오고 ....
여기서 '분당 10cs'라는 말이 보이십니까? 1분당의 cs개수비율을 말하고있지요. 여러분은 알게모르게 미분을 자주자주 사용하고 계신겁니다. (미적분을 너무 미워하지 마세요 ㅠㅠ)
 여기서 더 엄밀한 미분의 의미는 저렇게 두개의 숫자의 비율을 비교하는데 매~~~~~~~~~~~우 작은 숫자 두개의 비율을 구하는게 바로 엄밀한 의미의 미분이 되는겁니다. ㅎㅎ

라고 제가 설명을 했었군요. 한번 정독을 해주시길 바라겠습니다. 

2. 미분을 수학적으로 정확히 정의를 해보자!
참,  여러분들이 싫어하는 그래프인데요... 한번만 참고 봐주시길 부탁드리면서 설명시작하겠습니다.
미적분학은 단순하게 얘기하면 그래프를 해석하기 위한 학문입니다.(물론 이보다 심오한 의미가 있긴 하지만) 그리고 의외로 그래프는 일상에서 많이 볼수 있습니다.(주식그래프 부터 각종 통계자료에도 그래프가 쓰이죠) 평소 소홀히 보고 넘겼던 그래프들을 제글을 통해서 그래프 안에 담긴 의미를 읽어 보시길

그래프를 해석하는 방법중에 가장 단순한 방법은 그래프 위에있는 두점사이의 기울기가 얼마나 되는지를 보는 겁니다. 기울기는 직관적으로 딱봤을때 y축을 향해서 빠딱서면 가파르고 x축을 향해서 축쳐지면 완만하다고 감이 오실겁니다. 이걸 수학적으로 정의를 해봅시다.

그래프위에 두점을 미리 잡아놨습니다. (a,f(a)) 그리고 (a+Δx,f(a+Δx)) 그렇게 했을때 두점의 x좌표끼리의 거리는 Δx가 되고 y좌표 끼리의 거리는 f(a+Δx)-f(a)가 됩니다. 이를 간단히 Δy라고 칭해보죠. 그랬을때 기울기의 정의는 Δy/Δx가 됩니다.

의외로 간단하죠? 두점의 y좌표끼리의 차이와 x좌표끼리의 차이를 서로 나눠줬을 뿐이니깐요.

3. 그래서 기울기로 어쩌라고? 미분이 뭔데..
자자, 여기까지 이해하셨으면 거의 다 오셨습니다. 기울기의 정의가Δy/Δx라고 했죠? 그러면 여기서 Δx->0으로 하는 극한 계산만 하면 미분의 정의가 됩니다. 헉, 무슨소린지 모르시겠다고요? 예제를 통해서 함께 확인해봅시다.
y=x^2이라는 함수위의 점 (2,4)에서 기울기를 한번 구해봅시다.

(2,4)와 x좌표가 2+Δx인 (2+Δx,(2+Δx)^2)이 되겠죠? x좌표끼리의 차이는 Δx임이 자명하므로 Δy를 구해봅시다.

오이갤러 형님들 중에 학교를 나오신지 오래되셔서 (2+Δx)^2의 계산이 가물가물 하신 분도 계실것이므로 차근 차근 설명 해 보겠습니다. (2+Δx)^2=(2+Δx)*(2+Δx)입니다. 이때 2와 Δx를 순서대로 계산하시면 됩니다. 2부터 계산하면
(2+Δx)*(2+Δx)=2*(2+Δx)+Δx*(2+Δx)=4+2Δx+2Δx+Δx^2=4+4Δx+Δx^2 여기까지 따라오셨나요?(혹시 잘 이해가 안되시면 댓글 이나 쪽지 주시면 설명해 드립니다.)

자, 그럼 y좌표끼리의 차인 (2+Δx)^2-4를 계산해봅시다.
(2+Δx)^2-4=4+4Δx+Δx^2 -4=4Δx+Δx^2=Δy

그러면  기울기의 Δy/Δx를 계산해야 겠지요? 2Δx+Δx^2=Δy이므로 양변을 Δx로 나누면

 4Δx/Δx+Δx^2/Δx=Δy/Δx
4+Δx=Δy/Δx

자 이제 마지막으로 Δx를 0으로 보냅시다. 보낸다는 말에 너무 겁먹지 마세요 단순히 0을 대입하면 되니깐요
그러면 Δy/Δx=4(x좌표가 2이고 y좌표가 4인 y=x^2함수에서의 기울기) 라고 미분을 계산 하셨습니다.

3. 마무리 및 다음시간 예고
어떠셨나요? 너무 어려우셨나요? 생각보다 쉬웠다는 느낌을 받으시길 바랍니다. 물론 미적분에서 계산이 중요한것은 아닙니다. 하지만 기왕에 수학을 배우는 김에 이정도 계산은 배워보시는게 어떨까요?
다음 시간은 적분에 대해서 한번 얘기를 해보겠습니다. 다음주에 뵈요~