종종 @벤 눈팅하다가 가샤하다가 빡쳐서 오랜만에 로그인해서 글 써봤습니다. 그저 재미로 밀리시타/데레스테에서 특정 카드를 저격할 때 드는 연차 횟수의 기댓값을 구해보았습니다.

기댓값의 사전적 정의는 '어떤 사건이 일어날 때 얻어지는 양과 그 사건이 일어날 확률을 곱하여 얻어지는 가능성의 값'입니다. 예컨대 'A를 저격할 때 드는 연차횟수의 기댓값이 50이다'라는 말의 의미는 충분히 많은 A를 얻은 사람들이 투자한 연차횟수의 평균은 50정도라는 거죠.
-주의할 점은 기댓값이 중앙값에 매칭되는 건 아닙니다. 즉 기댓값에 대응되는 횟수의 연차에서 원하는 아이돌을 얻었다고 해서, '아이돌을 얻은 1000명의 프로듀서 중 내가 500번째로 많이 가샤를 돌렸다'는 의미가 아닙니다. 대신, '기댓값이 50인 가샤에서 아이돌을 얻은 1000명이 돌린 가샤횟수의 합은 50*1000=50000번 정도겠구나'가 옳은 해석입니다. 이에 대해서는 글의 마지막 부분에서 다시 언급하겠습니다.

이번 글에서는 '아이돌마스터 밀리언라이브 시어터 데이즈'(이하 밀리시타)와 '아이돌마스터 신데렐라걸즈 스타라이트 스테이지'(이하 데레스테)에서 SSR을 기준으로 하여 나올 확률이 p(0<p<1)인 아이돌에 대해 드는 연차 횟수의 기댓값을 구해보고자 합니다.
-둘의 구분은 '천장'의 유무로, 따라서 M스테의 경우 밀리시타와 동일한 방식을 적용할 수 있습니다.
-SR 이하의 경우 '10연차시 SR이상 아이돌 확정'때문에 계산에 보정이 가해져야 합니다. 단차로만 진행함을 가정할 경우 역시 아래의 과정을 적용할 수 있습니다.
-데레스테의 스타랭크작 등은 고려대상에서 배제했습니다. 오직 '한 장'을 얻는 것에 대한 계산입니다.


먼저 밀리시타의 경우입니다. 자연수 n에 대해 (n-1)번까지 원하는 특정 아이돌을 뽑지 못하고 n번째 시행에서 뽑는 확률은 p*(1-p)^(n-1)입니다. 밀리시타에는 천장이 없으므로 모든 자연수 n에 대해 np*(1-p)^(n-1)을 더해주면 됩니다.
(식은 중요하지 않으니 겁먹지 마세요)

따라서 기댓값은 1/p가 됩니다.

이를 적용하려면 원하는 카드의 출현확률을 그냥 대입해주면 됩니다. 예를 들어 SSR카드의 출현확률은 3%이므로 SSR카드를 얻기 위한 가샤횟수의 기댓값은 1/0.03=33.3회가 되죠. 이번 시호 한정카드의 경우 출현확률이 0.495%이므로 기댓값은 1/0.00495=202회입니다. 즉, 만약 1천명이 시호를 얻었다고 한다면 그들이 운영국에 반납한 쥬얼 수는 1000*250(쥬얼/회)*202(회)=5050만 쥬얼 정도로 예상할 수 있습니다.


다음은 데레스테의 경우입니다. 데레스테는 300회 연차시 원하는 아이돌을 스카우트할 수 있으므로 계산식이 바뀌는데요, n=1~299에 대하여 n번째 시행에서 뽑는 확률은 위와 같고, 300번째 시행에서 뽑는 확률을 (1-p)^299로 둔다고 생각할 수 있습니다. 계산 과정 및 결과는 다음과 같습니다.

(혹시 식에 문제가 있을까봐 계산과정 전체를 업로드합니다. 가능하시다면 틀린 부분이 있는지 확인해 주시면 감사하겠습니다.)
굳이 근사를 할 필요가 없이 이 정도 식은 컴퓨터를 이용해 쉽게 계산할 수 있으므로 이대로 둡시다. 천장이 없는 경우의 기댓값에서 -(1-p)^300/p 만큼의 보정이 일어난 것을 확인할 수 있습니다.
굳이 예를 들어 계산해보자면, 이번 한정 카나데와 유코의 확률이 각각 0.4%이므로 한정카드 둘 중 어느 한 장을 얻기 위해서는 114회 정도의 시도가 기대되네요.


그렇다면 저 보정값이 어느 정도 유의미하냐, 궁금해하실 분들을 위해 샘플의 상황 세 가지 정도를 가정해서 그려봤습니다. (인벤 이미지 업로드 제한이 5개라 수식 2개를 넣으니 여분이 3개밖에 없어서요 ㅎ)



*그래프 읽는 법
-검은 곡선은 시행횟수에 따라 원하는 아이돌을 맞을 수 있는 (누적)확률입니다.
-큐티한 빨간 원은 이 확률이 50%를 넘기는 시점, 즉 앞에서 언급했던 중앙값 위치에 도식되어있습니다. 이 원의 위치보다 낮은 곳에서 원하는 아이돌을 맞았다면 상대적으로 운이 좋은 것이고, 그 반대의 경우라면 운이 나쁜 것이겠죠?
-쿨한 파란 직선은 천장이 있는 경우, 즉 데레스테에서의 기댓값입니다.
-패션 넘치는 노란 직선은 천장이 없는 경우, 즉 밀리시타에서의 기댓값입니다.



먼저 3%, 즉 페스기간이 아닐 때의 데레스테와 밀리시타에서 SSR을 뽑을 확률에 대한 그래프입니다. 이렇게 보니 (이번 글을 쓰게 된 계기이기도 한) 10x10연 금나비도 이성적으로는 받아들여지는군요...
노란 직선이 안보인다고 하실 수 있는데, 그건 파란직선과 매우 가까이 있어서 그런 겁니다. 유의미한 차이가 없기 때문이죠.

차이를 보기 위해 확률을 좀 낮춰볼까요? 밀리시타 이번 한정인 시호 SSR을 뽑을 확률에 대해 그려보겠습니다.



노란 직선이 상당히 파란 직선과 떨어져있죠? 계산결과 약 45~46회 정도의 차이를 보입니다. 이런데도 밀리시타는 천장도입을 하지 않는 건가요? 300연 안에 시호를 얻지 못할 확률이 20%를 넘어가는 것이 슬플 따름입니다.

마지막으로는 이번 한정 카나데에 대해 그려봅시다. 한정 카나데의 픽업 확률은 0.4%로, '어쩌면 시호와 0.095%밖에 차이 안나네~'라고 생각하실 수도 있지만, 실로 무시할 수 없는 차이입니다.



천장 덕분에 시행횟수의 기댓값이 무려 75회나 줄어들었습니다! 75회를 쥬얼로 환산하면 18750 쥬얼. 9800엔으로 8400 쥬얼을 구매할 수 있으니 인당 2만엔 넘게 절약이 된다고 볼 수 있을까요?ㅎㅎ. 본진은 밀리지만 갓겜 데레스테 찬양해~
(열 중 셋은 천장이라는건 눈감아줍시다)




세줄요약
1. 밀리시타에서 가샤횟수의 기댓값은 1/p, 데레스테에서는 천장보정이 -(1-p)^300/p 만큼 들어간다.
2. 두 기댓값의 차이는 p가 작아질수록 기하급수적으로 늘어나지만, 이는 천장이 더욱 유의미해지기 때문이다.
3. 과금은 계획적으로!ㅠㅠ


P.S. 시험삼아 잠깐 계산해보니 단샤로 시호를 얻을 확률(0.495%)은 1070연샤로도 시호를 못 얻을 확률과 같더군요. 세상에나.