결속작 분석 2편 - 확률

결속작에서 확률이 없다고 한다면, 아주 간단해집니다.

우선 다음과 같은 전제를 믿어봅시다.

1. 간이 제작을 하면 동일하게 결속도가 증가하며, 이를 기본 결속도 증가량(a)이라고 한다.

2. 간이 제작 레벨 이하의 장비는 결속도가 동등하게 오른다.

3. 같은 등급의 장비는 목표 결속도(b)가 같다.

1등급(아이템 레벨 1~14) NQ 장비를 간이 제작으로 결속도를 올릴 때 약 117회가 필요합니다.

그러한 조사 중 장비 13개에 대한 표입니다.

	가	나	다	라	마	바	사	아	자	차	카	타	파
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
3	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
4	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3
5	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4
6	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5
7	5	5	6	5	6	5	6	6	5	5	5	5	6
8	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6
9	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7
10	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8
11	9	9	9	9	9	9	9	9	9	9	9	9	9
12	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10
13	11	10	11	11	11	11	11	11	11	11	11	11	11
14	12	11	11	12	11	12	12	12	11	11	11	11	12
15	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12
16	13	13	13	13	13	13	13	13	13	13	13	13	13
17	14	14	14	14	14	14	14	14	14	14	14	14	14
18	15	15	15	15	15	15	15	15	15	15	15	15	15
19	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16
20	17	16	16	17	17	17	17	17	17	17	16	17	17
21	18	17	17	17	17	18	18	18	17	17	17	17	18
22	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	19
23	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19
24	20	20	20	20	20	20	20	20	20	20	20	20	20
25	21	21	21	21	21	21	21	21	21	21	21	21	21
26	22	22	22	22	22	22	22	22	22	22	22	22	22
27	23	22	22	23	23	23	23	23	23	23	23	22	23
28	24	23	23	23	24	24	24	24	23	24	23	23	24
29	24	24	24	24	24	24	24	25	24	24	24	24	24
30	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25
31	26	26	26	26	26	26	26	26	26	26	26	26	26
32	27	27	27	27	27	27	27	27	27	27	27	27	27
33	28	28	28	28	28	28	28	28	28	28	28	28	28
34	29	29	29	29	29	29	29	29	29	29	29	28	29
35	30	29	29	29	30	30	30	30	30	29	29	29	30
36	30	30	30	30	30	30	30	31	30	30	30	30	31
37	31	31	31	31	31	31	31	31	31	31	31	31	31
38	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32
39	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33
40	34	34	34	34	34	34	34	34	34	34	34	34	34
41	35	35	35	35	35	35	35	35	35	35	35	34	35
42	36	35	36	36	36	36	36	36	36	35	35	35	36
43	36	36	36	36	36	37	37	37	37	36	36	36	37
44	37	37	37	37	37	37	37	37	37	37	37	37	37
45	38	38	38	38	38	38	38	38	38	38	38	38	38
46	39	39	39	39	39	39	39	39	39	39	39	39	39
47	40	40	40	40	40	40	40	40	40	40	40	39	40
48	41	41	41	41	41	41	41	41	41	41	41	40	41
49	42	42	42	42	42	42	42	42	42	41	41	41	42
50	42	42	43	42	42	42	43	43	43	42	42	42	42
51	43	43	43	43	43	43	44	43	44	43	43	43	43
52	44	44	44	44	44	44	44	44	44	44	44	44	44
53	45	45	45	45	45	45	45	45	45	45	45	45	45
54	46	46	46	46	46	46	46	46	46	46	46	45	46
55	47	47	47	47	47	47	47	47	47	47	46	46	47
56	48	48	48	48	48	48	48	48	48	48	47	47	48
57	48	48	49	49	48	48	49	49	49	48	48	48	48
58	49	49	49	49	49	49	50	49	50	49	49	49	49
59	50	50	50	50	50	50	50	50	50	50	50	50	50
60	51	51	51	51	51	51	51	51	51	51	51	51	51
61	52	52	52	52	52	52	52	52	52	52	52	52	52
62	53	53	53	53	53	53	53	53	53	53	52	52	53
63	54	54	54	54	54	54	54	54	54	54	53	53	54
64	54	54	55	55	55	54	55	55	55	55	54	54	55
65	55	55	55	55	55	55	56	55	56	55	55	55	55
66	56	56	56	56	56	56	57	56	57	56	56	56	56
67	57	57	57	57	57	57	57	57	57	57	57	57	57
68	58	58	58	58	58	58	58	58	58	58	58	58	58
69	59	59	59	59	59	59	59	59	59	59	59	58	59
70	60	60	60	60	60	60	60	60	60	60	59	59	60
71	60	60	61	61	61	60	61	61	61	61	60	60	60
72	61	61	61	61	62	61	62	62	62	61	61	61	61
73	62	62	62	62	62	62	62	62	63	62	62	62	62
74	63	63	63	63	63	63	63	63	63	63	63	63	63
75	64	64	64	64	64	64	64	64	64	64	64	64	64
76	65	65	65	65	65	65	65	65	65	65	64	65	65
77	65	65	66	66	66	66	66	66	66	66	65	65	66
78	66	66	67	67	67	66	67	67	67	67	66	66	66
79	67	67	67	67	68	67	68	68	68	68	67	67	67
80	68	68	68	68	68	68	69	68	69	68	68	68	68
81	69	69	69	69	69	69	69	69	70	69	69	69	69
82	70	70	70	70	70	70	70	70	70	70	70	70	70
83	71	71	71	71	71	71	71	71	71	71	71	71	71
84	72	71	72	72	72	72	72	72	72	72	72	71	72
85	72	72	73	73	73	72	73	73	73	73	72	72	72
86	73	73	74	74	74	73	74	74	74	74	73	73	73
87	74	74	74	74	75	74	75	74	75	74	74	74	74
88	75	75	75	75	75	75	75	75	76	75	75	75	75
89	76	76	76	76	76	76	76	76	76	76	76	76	76
90	77	77	77	77	77	77	77	77	77	77	77	77	77
91	78	78	78	78	78	78	78	78	78	78	78	77	78
92	78	78	79	79	79	78	79	79	79	79	78	78	78
93	79	79	80	80	80	79	80	80	80	80	79	79	79
94	80	80	81	81	81	80	80	80	81	81	80	80	80
95	81	81	81	81	81	81	81	81	82	81	81	81	81
96	82	82	82	82	82	82	82	82	82	82	82	82	82
97	83	83	83	83	83	83	83	83	83	83	83	83	83
98	84	83	84	84	84	84	84	84	84	84	84	84	84
99	84	84	85	85	85	85	85	85	85	85	84	84	84
100	85	85	86	86	86	85	86	86	86	86	85	85	85
101	86	86	87	86	86	86	86	87	87	87	86	86	86
102	87	87	87	87	87	87	87	87	88	88	87	87	87
103	88	88	88	88	88	88	88	88	88	88	88	88	88
104	89	89	89	89	89	89	89	89	89	89	89	89	89
105	90	90	90	90	90	90	90	90	90	90	90	90	90
106	90	90	91	91	91	91	91	91	91	91	90	90	90
107	91	91	92	92	92	91	92	92	92	92	91	91	91
108	92	92	93	93	93	92	92	93	93	93	92	92	92
109	93	93	93	93	93	93	93	94	94	93	93	93	93
110	94	94	94	94	94	94	94	94	94	94	94	94	94
111	95	95	95	95	95	95	95	95	95	95	95	95	95
112	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	96	95
113	96	96	97	97	97	97	97	97	97	97	96	97	96
114	97	97	98	98	98	97	98	98	98	98	97	97	97
115	98	98	99	98	99	98	98	99	99	99	98	98	98
116	99	99	99	99	99	99	99	100	99	100	99	99	99
117	100	100	100	100	100	100	100		100		100	100	100

동일한 작업을 거쳤음에도 불구하고, 결속도가 약간씩 다를 때가 있습니다.

결속도 상승에 확률이 없어서 같은 결속도 값이 올라간 것인데도 다른 결속도가 표시된 것이라면,

목표 결속도가 약간씩 달라서라고 봐야 하고, 그렇다면 모든 구간에서 순위가 동일해야 합니다.

동순위가 많지만 그 순위 범위가 모순되는 경우도 많고, 눈에 확실하게 보이는 순위로는,

혼자 제일 높거나 제일 낮은, 1위이거나 13위인 경우인데요. 파란색이 1위이고, 빨간색이 13위인데요.

해당하는 장비가 바뀌는 것을 볼 수 있고, 심지어 파의 경우 22회 때는 1위였지만 112회에서는 13위입니다.

따라서 전제가 틀렸거나, 결속도가 오르는 값이 확률적으로 시행마다 변한다고 할 수 있습니다.

작업에 의해 오르는 결속도가 확률적으로 달라지는 경우, 크게 2가지 효과가 생깁니다. 분포가 생기고, 기대값이 달라질 수 있습니다. 작업 1회의 결속도 상승을 세밀하게 측정할 방법이 기본적으로 없기 때문에, 확률 분포가 어떤지를 직접 관찰할 방법은 없습니다. 그리고 확률 분포가 많이 반복 시행될 경우 그 결과의 분포는, 원래 확률 분포와 무관하게 정규 분포 형태가 되기 때문에, 100%가 되는 횟수의 분포로도 확률 분포를 파악할 수 없습니다.

기대값은 달라질 수도 있고, 유지될 수도 있습니다. 아니마 웨폰의 빛작이나 바위 먹이기의 경우 확률적으로 보너스만 있는데, 이런 경우 원값보다 기대값이 더 커집니다. 반대로 페널티만 있다면 작아질 것이고, 둘 다 있다면 확률 분포에 따라 달라지겠죠. 그런데 확률 분포를 알아낼 방법이 없으니 그렇게 알아낼 수는 없습니다. 그러니 결과 기대값을 바탕으로 a나 c를 바로 역산할 수는 없습니다.

다만 원값 대비 기대값 변화가 그리 크지 않다면, 결속도 증가량 효과를 1 단위로 제어할 수 있는데, 그에 따른 기대값 변화 역시 1 단위에서 크게 다르지 않을 것이기 때문에 나름 예상값으로 써볼 수 있습니다.

위의 실험값을 좀 더 확장해본다면, 결속도 증가량이 0일 때 간이 제작이 약 117회가 필요하고, +1일 때 113회, +2일 때 110회, +3일 때 107회, +4일 때 103회가 필요합니다.

1회의 간이제작에서 오르는 기본 결속도를 a(결속도 기본 증가량)+c(결속도 증가량 보너스)이라고 하고, 1회 간이제작에서 오르는 결속도 기대값을 A+C라고 할 수 있습니다. 그리고 목표 결속도를 B라고 한다면,

117A >= B > 116A

113(A+C) >= B > 112(A+C)

110(A+2C) >= B > 109(A+2C)

107(A+3C) >= B > 106(A+3C)

103(A+4C) >= B > 102(A+4C)

이렇게 10개의 부등식이 나옵니다. B를 중심으로 다른 부등식의 좌우끼리 연립해서 정리하면,

34.67C > A > 29.9C 가 나옵니다.

그리고 c와 C의 비율이 1과 그리 다르지 않다고 한다면, A가 35~29 정도, a는 정수값일테니 35, 34, 33, 32, 31, 30, 29 중의 하나라고 추측할 수 있는 것이죠.