안녕하세요. 오이갤러의 뇌에 번개를 치게하는 번개쥐입니다.
오늘은 여러분들이 대부분 좋아하실 음악을 주제로 들고왔습니다! 옛날 옛날에는 음악과 수학은 하나의 학문이었다고 합니다. 현대에 와서도 음악 관련 기구들과 프로그램들은 아주 심오한 수학적 원리에 따라서 만들어져있고요. 그리고 그중에서는 여러분들도 쉽게 이해하고 직접 해볼 수있는 부분도 아주 아주 많답니다! 한번 알아보도록 하죠.


1. 음악은 도대체 우리 귀에 어떤식으로 들리는 걸까??
우리가 소리를 들을때 크게 세가지를 느낍니다. 첫번째 소리의 크기, 높낮이, 그리고 맵시입니다. 하나 하나 차근차근 알아보도록 하죠.


1) 소리의 크기는 가장 간단한 개념일 겁니다. 위에 보이는 sin 곡선이 보이시나요? 파도가 넘실넘실 하는 모양같습니다. 저기에서 가장 높은곳과 가장 낮은곳의 높이차이를 우리는 소리의 크기라고 느낍니다. 물리, 수학에서는 amptitude라고 쓰지요.


2)소리의 높낮이는 주파수(frequency)의 개념입니다. 음이 높다(보통 여성 보컬들이 음이 높죠, 물론 남자 보컬도 음이 높은 경우가 있습니다.) 는 주파수가 높다는 개념이 됩니다. 위 그림을 봅시다. 좌우로 폭이 좁아질수록 high frequency(높은 주파수, 높은 음)이라는 말이 됩니다. 그리고 여기서 하나 정립하고 가야 하는 개념은 주기라는 개념입니다. 너무 어렵게 생각하지 마세요 주기는 주파수의 역수 이니깐요. T(주기)=1/f(주파수) 주파수가 높으면 주기가 짧고 주파수가 낮으면 주기가 길어지는 겁니다.

3)소리의 맵시라는 것은 주파수가 같더라도 소리 파동의 모양의 차이를 얘기합니다. 위의 두 음파를 보시면 주기(주파수)는 같지만 파형이 달라서 우리는 하나는 피아노 소리라고 인식하고 하나는 바이올린 소리라고 인식 하는겁니다.



2. 이미 우리가 많이 봐온 푸리에 급수
요즘 mp3플레이어 어플들은 이러한 식으로 mp3에서 나오는 소리의 파형을 보여줍니다. 이걸 보신 경험이 있으신 분들은 저에게 이런 말씀을 하실 수 있습니다.


'번개쥐 이 ㅅㅋ 우리가 평소에본 소리는 저런 깔끔한 사인파는 전혀 본적이 없어, 너 거짓말 하는거 아니야?' 
만약에 이런생각을 하셨다면, 여러분은 엄청 똑똑한 오이갤러이신겁니다. ㅎㅎ 제가 거짓말을 했는지 안했는지 한번 알아 보도록 하죠.
mp3 노래의 파형의 일부를 제가 따왔습니다. 자 지금 이걸 봤을때는 지들 맘대로 움직이는 것 처럼 보이시죠? 하지만


General model Sin8:
     f(x) =  
                    a1*sin(b1*x+c1) + a2*sin(b2*x+c2) + a3*sin(b3*x+c3) + 
                    a4*sin(b4*x+c4) + a5*sin(b5*x+c5) + a6*sin(b6*x+c6) + 
                    a7*sin(b7*x+c7) + a8*sin(b8*x+c8)
Coefficients (with 95% confidence bounds):
       a1 =        2.15  (1.241, 3.058)
       b1 =       83.25  (82.45, 84.05)
       c1 =       2.821  (1.95, 3.691)
       a2 =       8.624  (-8228, 8245)
       b2 =       145.9  (63.77, 228.1)
       c2 =       4.421  (-99.79, 108.6)
       a3 =       1.725  (0.7412, 2.71)
       b3 =       139.1  (138, 140.3)
       c3 =      0.1872  (-1.06, 1.435)
       a4 =       1.548  (0.6355, 2.46)
       b4 =       27.23  (26.13, 28.33)
       c4 =       -1.55  (-2.744, -0.3561)
       a5 =       1.857  (0.9406, 2.773)
       b5 =       112.2  (111.3, 113.1)
       c5 =       1.189  (0.1897, 2.188)
       a6 =       6.535  (-8230, 8243)
       b6 =       145.7  (38.94, 252.5)
       c6 =       1.496  (-134.7, 137.7)
       a7 =      0.7436  (-611.6, 613.1)
       b7 =     0.04109  (-99.83, 99.91)
       c7 =     -0.9883  (-1247, 1245)
       a8 =       1.208  (0.2523, 2.164)
       b8 =       133.1  (131.6, 134.7)
       c8 =       4.129  (2.485, 5.774)

자 숫자 너무 많이 나왔다고 당황하지 마시고 ㅎㅎ 제가 여기서 보여드리고자 하는 것은 하나입니다. 아무리 불규칙해 보이는 파동이라도 사인 파동을 여러개 (엄밀히 수학적 정의를 하면 무한개의 사인커브를 겹쳐야합니다. 덤으로 코사인 커브도...) 겹치면 그어떤 파동도 깔끔한 파동으로 표현이 가능 하다는 겁니다.

조금더 직관적으로 보면
요런식으로 표현이 되겠군요. 우리가 하나의 소리라고 듣는 파동안에는 사실 여러개의 다른 파동들이 섞여있다. 이게 푸리에급수가 우리에게 알려주는 자연의 섭리입니다.(이것은 빛에도 적용이 됩니다.) 

3. 마무리
음악과 수학 이라는 주제의 글은 총 2편으로 기획중입니다. 별일 없으면 아마 오늘 밤에 올릴 듯 하네요. 음악을 수학적으로 접근하는 방식은 상당히 흥미롭지 않습니까? 중고딩때 배운 사인 코사인은 사실 엄청나게 우리랑 가까운 사이였다는 사실에 깜짝 놀라셨길 바라면서 이만 글 줄이겠습니다.


ps. 친구한테 凸 하시고 싶으시면
요걸 날려보는건 어떨까요? 수학적으로 욕해주마!