실제로 몬티 홀이라는 분이 진행했던 퀴즈쇼에서 유래한 문제입니다

3개의 문이 있습니다. 문 하나의 뒤에는 승용차가 있보 나머지 두 개의 문 뒤에는 염소만 있습니다. 사회자는 미리 모든 정보를 다 알고 있습니다. 여러분이 문 하나를 선택만 한 뒤에, 사회자가 나머지 두 문 중 하나를 열어 그 안에 염소가 있음을 보여줍니다. 이제 염소와 차는 각각 하나 씩만 남았습니다. 사회자는 이제 당신에게 선택을 바꿀 기회를  제안합니다. 이 때 선택을 바꾸는 것과 바꾸지 않는 것 중, 어느 쪽이 더 이득일까요?

결과는 바꾸는 쪽이 이득입니다.
바꾸지 않는다면 처음 3개의 문 중 바로 차를 선택해야 합니다.
확률은 1/3이죠

무조건 바꾼다면 첫 선택시 차를 선택하면 꽝이겠지만,
반대로 염소를 선택하면 무조건 당첨입니다.
3개 중 2개이니 2/3가 되죠

대부분의 경우 사회자가 문 하나를 배제한 뒤를 생각해서
차1 염소1 이니까 반반이라고 생각합니다. 실제로도 그래서 논란이 있었죠.

이와 비슷한 오류로는 로또를 사면서 '결국 당첨되거나 안되거나 둘 중 하나지 반반이네 '라는 일종의 자기위안이 있습니다.

그 이유는 고등학교 교과서를 보면 확률을
[어떤 사건의 발생 확률은 그것이 일어날 수 있는 경우의 수 대 가능한 모든 경우의 수의 비이다. 단, 이는 어떠한 사건도 다른 사건들 보다 더 많이 일어날 수 있다고 기대할 근거가 없을 때, 그러니까 모든 사건이 동일하게 일어날 수 있다고 할 때에 성립된다.]
라고 정의하고 있습니다. 전문용어로는 근원사건이라고 말을 합니다.

어쨋든 당첨된다와 당첨되지않는다가 동등한 빈도로 이루어지지 않기 때문에
1/(1+1)이 안되는거죠.

마찬가지로 몬티홀문제 또한 초기조건에서 자동차와 염소가 동일한 빈도를 가지지 못하기 때문에 1/2은 성립될수 없다고 보시면 됩니다.

물론 윗 짤과 같이 꽝의 숫자가 적은 경우에는 안 바꾸시는 게 유리합니다.

덧1: 1/2로 오인하시는게 절대 수학을 못해서는 아닙니다.
       실제로, 미국에서 2/3으로 정답이 발표되었을때, 공학전공이나 대수를 전공한 수학전공 박사들도 1/2가 맞다고 항의를 했었습니다.
하지만 이건 딜레마가 아니라 이미 정답이 존재하는 몬티홀의 '문제'입니다. 댓글들을 보시면 선행사건과 후행된 사건을 독립시켜서 보시는 분들이 많은데요.
몬티홀 문제는 종속사건입니다. 후행사건 자체가 선행사건이 일어나야지만 일어날 수 있기때문이죠. 즉,  사회자가 문을 하나 열어주기 위해서는 참가자가 반드시 문을 고르는 게 선행되야 한다는 소리십니다.
(수학에서는 이걸 베이즈 정리 라고 합니다.고등학교 때 문이과 공통으로 배우죠.)

덧2 : 폴 에어디쉬라는 20세기 후반의 전설은 아니고 레전드 수학자분도 처음에는 직관적으로 얻은 1/2을 고수했지만 컴퓨터 시뮬레이션을 보고서야 2/3이 맞다고 인정했습니다. 지금 풀이를 보고 그래도 1/2이 맞는거 같은데 하시는 분들은 당연한 현상이니 문송하지 않으시길 바랍니다.

다만 이 글을 쓴 목적은, 현대사회에서 확률로 부당하게 금전적 이득을 노리는 기업이나 사람들이 자주 쓰는 트릭이 2/3을 1/2인것처럼 보이게 하는 것도 있는지라 쓰게 되었습니다. 배워서 손해는 아니니까요