최근에 중국인이 착해지는 버튼이 화제가 되어서 중국인이 다 착해지려면 얼마나 걸리는 지 계산해보았다.




실제로는 더 열심히 누르겠지만 팔목과 손이 힘들 수 있으니 1초에 3번 버튼을 누른다 가정하고 단순히 15년간 누르면 얼마나 착해지는 지 계산한 결과가 아래와 같다.





즉 대략 1년간 누르면 9500만명이 착해지는데 대충 1억명이 착해진다고 가정하자. 그리고 현재 중국인의 인구를 조사해보니





2019년 기준으로 약 14억이다. 중국은 신고를 안한 인구도 있음을 고려해서 약 16억의 인구를 가지고 있다고 가정하자.

중국인이 착해지는 동안 중국의 인구도 변동을 할 수 있으므로 중국의 인구성장률을 조사해보았다.




이 인구성장률은 단순히 새로 태어나는 중국인 뿐만 아니라 자연적이거나 사고로 착해지는 중국인도 고려한 사항이다. 인구성장률은 변동하지만 계산의 편의를 위해 1년에 0.005%의 인구성장을 이룬다고 가정하겠다.


실제로는 실시간으로 중국인이 착해지겠지만 그러면 미분방정식을 세워야 하기 때문에 귀찮았다. 따라서 differential equation이 아니라 difference equation을 세워보자. 
이는 흔히 고등학교 과정에서 배우는 수열의 귀납적 정의 내지는 점화식이다.

f(n)을 n년 후의 중국의 인구라고 하자. 단위는 억명이기 때문에 f(2)=5이라고 하면 2년 후에는 5억의 인구가 있다는 말이다.

또한 약간의 자비를 배풀기 위해 1년간 인구성장을 이룬 후, 한번에 1억명을 착해지게 한다하면 f(n)의 관계식은 아래와 같다.

f(n+1) = 1.005f(n) - 1, f(0) = 16

이를 인터넷 계산기에 대입하면 아래와 같은 일반항을 구할 수 있다.





우리는 중국의 인구가 0이 되는 순간, 즉, f(n)의 근을 찾아야하고 이는 아래와 같다.




이는 대략



으로 16년하고도 9개월 가량을 열심히 눌러야 모든 중국인을 착하게 만들 수 있다.

실제로는 1초에 3번으로는 1년에 1억이 아니라 9500만명이 착해지니 17년 이상이 걸릴 것이다.