몬티홀 응용문제
http://www.inven.co.kr/board/powerbbs.php?come_idx=2097&iskin=webzine&l=676349

한시간이 흘렀으니 정답을 공개하겠습니다.

정답부터 말하자면 자연재해등에 의해 우연히 문이 열렸을 경우에는 바꾸던 안바꾸던 당첨될 확률은 같다 입니다.

이유를 설명을 드리자면

일단 확률이란것은 (상태)/(모든 경우의 수) 입니다.

여기서 상태라는것은 당첨되는 경우를 뜻하는 것이겠죠?

그렇다면 아무것도 모르는 참가자가 당첨될 문을 고를 확률을 구해 봅시다.

3개의문 중에 하나를 선택이란것은 모든 경우의 수를 말합니다. 고로 경우의 수는 3이 되겠죠

그리고 당첨이라는 경우는 1입니다.

그래서 참가자가 당첨이 될 확률은 1/3이 되게 됩니다.

그렇다면 생각을 해봅시다.

여기서 사회자가 당첨되지 않은 문을 연다면 어떻게 될까요

일단 참가자가 당첨된 문을 골랐다고 생각을 해봅시다.

그렇다면 사회자는 당첨되지 않은 문을 고를 확률(1/2)이 생기게 됩니다. 왜냐하면 당첨되지 않은 문이 두개이고 참가자는 당첨된 문을 골랐으니까요

그렇다면 참가자가 당첨 된 문을 고르고 사회자가 아무 문이나 열 경우의 수는 1/6이 됩니다. (=(1/2)*(1/3))

그리고 참가자가 당첨되지 않을 문을 골랐을 경우에는 사회자에게는 선택지가 하나 밖에 남지 않습니다.

참가자는 이미 탈락문을 골랐고 나머지 두개 문중에 하나는 당첨문이니까요

이때의 확률은 1/3이 되게 됩니다.

그렇다면 총 확률을 구해보죠

총 확률(=총 경우의수) = 2*(1/6)+1/3+1/3이 되게 됩니다

여기서 바꾸게 되었을때 당첨될 확률은 1/3+1/3이고

바꾸게 되었을때 탈락할 확률은 1/3이 되게 됩니다.

그러므로 바꾸는 것이 유리하게 됩니다.

여기까지는 기본적인 몬티홀 문제였구요.


이제 본론입니다.

만약에 자연재해가 우연히 문을 열었는데 그 문이 참가자가 고른 문이 아니고 탈락 문이였다면 입니다.

그렇다면 다시 확률 계산을 해보죠

참가자가 당첨 문을 고를 확률은 1/3입니다. 여기까지는 같습니다.

하지만 자연재해가 우연히 문을 다시 열 확률도 1/3이 되게 됩니다.

그렇다면 참가자가 당첨문을 고르고 자연재해가 참가자가 고른문이 아닌 탈락문을 고를 확률을 구해봅시다

이때는 2/9의 확률이 됩니다.(계산은 직접해보세요)

그리고 참가자가 탈락문을 고르고 자연재해가 참가자가 고른문이 아닌 탈락문을 고를 확률도 2/9확률이 됩니다.

여기서 5/9확률은 전제에 의해 날라가게 됬으므로 총 경우의 수는 4/9가 되고 당첨 될 확률은 2/9가 됩니다

즉 바꾸나 안바꾸나 확률은 같다는 것이죠.

이 확률 문제가 주는 바는 바로 정보를 알고 있느냐 모르고 있느냐에 따라 확률이 바뀌게 된다는것입니다.

후에 이것은 정보 엔트로피에 대한 기본적인 바탕이 됩니다.