*짧은 글을 왜 계속해서 나눠 쓰냐는 분이 계시던데, 그 점은 죄송하게 생각합니다. 추후에 모든 글의 작성 및 업로드가 끝나면 통합글을 올린 후 전의 글들은 지우거나 운영진분들께 이동을 부탁드릴 생각입니다.

 

3. Elo의 개념

 

Elo 시스템은 상대에 대한 "승률"을 나타내는 점수법입니다. 1600은 1400보다 1200과의 편차가 400대 200으로 두배 더 크므로 2배 잘한다는 식의 실력 측정법이 아닙니다.

대략 레이팅 차이에 의한 예상되는 승률은 아래와 같습니다.

 

 

일반확률함수를 따르고 있다는 점을 알 수 있습니다. 여기서 1은 Elo 시스템에서는 대략 200점을 의미합니다. 상대보다 200점이 높다면 그래프에서도 볼 수 있듯이 80% 정도의 승률을 보일 것이라고 예상할 수 있죠. 물론 이것은 수학적인 그래프이기 때문에 완벽하게 이대로 이루어지지는 않습니다만,

 

Elo 시스템이 기본적으로 가정하는것은 두가지입니다.

 

(1) 매 경기에서 모든 플레이어는 "일정한 수준"을 보인다

 

이 말인 즉슨, Elo는 트롤링같이 의도적인 것이던, 기분이 안좋다던지 피곤함같은 환경적인 것이던 실력을 저하시키는 요소의 개입을 고려하지 않습니다. 수학적으로라면 1400의 실력을 가진 사람이 연패로 하루만에 1200으로 내려간다는 건 불가능에 가깝지만, 현실에서는 "말렸다"라는 말처럼 심리 상태가 중요한 역할을 하기때문에 적은 판수와 몇번의 등락으로는 정확한 실력의 파악이 어렵습니다.

 

수학이 언제나 그렇듯이, 표본이 많다면 확률적으로 자기 점수를 찾아가게 되는 것이죠.

 

(2) 모든 플레이어들의 실력은 정규분포를 따른다. 

 

 

그렇습니다. 중등교육과정을 이수했다면 누구나 한번쯤은 보고 들었을 그 그래프입니다. Elo 시스템의 레이팅이 정규분포를 따를 수 밖에 없는 이유는 정규분포 그래프를 설명하는 이론 중 하나인 "모래상자" 이론에 정확히 합치되기 때문입니다.

 

모래상자 이론의 이해를 돕기 위해서 많이 보던 수학문제 하나를 그려보았습니다.

무슨 문제인지 아시겠나요? 네 발로 그렸습니다....

맨 위에 있는 점에 구슬을 넣고, 구슬은 선을 따라 이동하는데, 갈라진 지점에서 왼쪽이나 오른쪽으로 갈 확률이 2분의 1일때, 아래에 있는 각 점에 도착할 확률을 구하는, 기본적인 확률 문제입니다.

 

왼쪽부터 64분의 1, 64분의 6, 64분의 15, 64분의 20, 64분의 15, 64분의 6, 64분의 1로 가운데가 가장 높네요. 이런 구조를 아래로 무한히 확장하고, 선 간의 간격을 무한히 좁히고, 구슬을 무한히 작게, 모래처럼 만든다고 가정합시다. 모래가 수많은 갈림길을 거쳐갈수록 가운데는 그 변동폭이 줄어들긴 하지만 점점 도착하는 수가 많아지고, 양측은 줄어듭니다.

이렇게 수렴하는 수준까지 무한히 과정을 반복한것이 "정규분포" 곡선을 따르게 된다는게 모래상자 이론입니다.

 

이를 롤에 적용시켜보면, 왼쪽으로 가는걸 패, 오른쪽으로 가는걸 승이라고 치환해 해석한다면, 10명중 절반은 이기고, 절반은 지며 비슷한 실력자와 매칭하므로 승률도 50%, 정확한 대입이 가능합니다. 결국 위의 형태가 롤의 랭크 게임의 수에 따라 확장되고, 결국 모래가 그렇듯이 사람들의 레이팅도 정규분포를 이루게 되는거죠.

 

4. Elo의 원리

 

Elo는 상대방과 나의 Elo 비교를 통해 예상되는 승률을 예측하고, 실제 승률과 비교를 통해 이번 경기에서 나타난 실력과 비슷하게 점수가 조정되는 원리를 가지고 있습니다. 원래 체스의 경우 16인이 리그전을 벌이는 Round-Robin이라는 방식을 사용해 자신을 제외한 15명의 Elo 평균과 자신의 Elo를 대조해 예상되었던 승률과 실제 거둔 승률을 바탕으로 점수가 변동됩니다.

 

앞에서도 말했듯이, Elo는 결과만을 두고 판단하기 때문에, 20분 칼서렌으로 이겼던, 50분 극후반 게임으로 이겼던 상관하지 않습니다. 한명이 나가서 진 경우도 패배로 처리합니다. 아이러니라면 한명이 나갔지만 이긴 경우 나간 사람도 승으로 처리되는 것이죠. 물론 롤의 경우 랭겜 탈주자는 그 게임에서 나머지 팀원이 이겼다면 얻은 점수를 다시 회수하지만요.

 

롤의 경우는 약간 다른데, 매 게임이 끝날때마다 점수 변동이 있기 때문에, 상대방 팀의 레이팅(단순히 상대 팀 레이팅의 평균과는 다르게 특정한 공식이 있는 것으로 알려져 있습니다)과 자신의 레이팅을 비교해 1전을 치뤘을때 예상 승률을 바탕으로 점수 변동을 결정하는 형식입니다.

 

팀의 레이팅이 단순한 평균과 다른 이유는, 대표적으로 랭크 듀오는 패널티가 있기 때문이며, 체스에서는 A선수가 B선수를 이긴것이 C와 D선수의 경기에 영향을 주지 않는것과는 달리 상대 탑라인이 흥하면 아군 봇라인이 어려워지는 것과 같이 영향을 주는 것이나, 속칭 "하드캐리" 라는 2인분 플레이어가 나올 수 있다는 점 때문입니다.

 

정확한 계산법은 매우매우매우 길고 자료도 많고 수식이 많으므로 다음 글에 단독으로 올리도록 하겠습니다.

 

5. Elo에 대한 FAQ

 

Elo에 관해 제가 토론 게시판이나 자유게시판에서 자주 본 내용들에 대해 적어보겠습니다. 이 부분은 그 게시판에 쓰이는 말투로 적어보도록 하겠습니다.

 

Q. 아니 이겼더니 11점인데 지면 15점이냐 이런 뭐 개같은 ㅆㅂ

 

A. 이건 상대방 팀의 레이팅이 자신보다 낮기 때문입니다. 자신이 1,2픽인 경우 대부분, 3픽인 경우 종종 자신의 레이팅이 자신 팀의 팀레이팅(팀랭과는 다릅니다. 솔랭에서 임시로 매칭된 팀이겠죠)보다 높고, 상대 팀의 레이팅도 비슷하므로 픽순이 위라면 이겼을때는 적은 보상, 졌을때는 많은 손실을 겪게 됩니다.

 

 

Q. 왜 외국은 3000++도 있는데 한국은 2500이 탑?

 

A. 피라미드를 생각하시면 쉽습니다. 정확히 말하자면 롤의 레이팅은 1200이 가장 두꺼운 중점으로 하는 다이아몬드형태를 이루나, 위의 절반만 나눠 생각해 보겠습니다.

닮은꼴의 삼각형의 넓이가 커질수록, 삼각형의 높이는 높아지게 되죠. 자연스레 ELO시스템 하에서 신규 참가자가 늘어날수록 1위의 레이팅은 높아지게 되는겁니다.

 

추후에 더 본다면 적도록 하겠습니다. 궁금한 내용은 언제라도 댓글을 달아주시기 바랍니다. 읽어주셔서 감사합니다.