[스압] MMR과 ELO, 그리고 LP와 티어에 대한 진실

*글의 일부는 편의상 평어체로 작성되었습니다. 경어체로 작성된건 보통 낮에, 평어체로 작성된건 밤에 졸린상태로 쓴거라 양해 바랍니다. 글 전체를 평어체로 수정했습니다

 

0. 뱀발

 

작년 말 - 올해 초에 ELO에 관한 글을 썼었다. 어떤 유래를 가졌고, 어떤 원리에 따르며, 실제로는 이러이러한 공식을 써서 계산한다는 내용. 도합 조회 수 4만도 넘겨봤고, 나름 열심히 공부한거 같아서 기뻤다.

 

그런데 이럴 수가, 도타와 월탱에 빠져 LOL을 잊은 사이에 LOL은 현재 티어제를 기반으로 하는 점수제로 변했고, 내가 열심히 써 놓은 글은 더 이상 직접적으로 체감되지 않게 되었다.

 

전에 쓴 글을 뭣 하러 내용 덧붙여서 끌어올리느냐 하고 묻는다면 왼뺨에 붙어있는 밥풀을 오른쪽 뺨으로 옮겼다가 입으로 넣은 후에 상한 줄 알고 뱉어내는 수준의 MMR 추론 방법글이 최근 많이 보이기 때문이라고 할 수 있다. ELO가 무엇인지, 시즌 3에서 바뀐 시스템과 ELO, 티어, LP, MMR은 어떤 관계인지에 대한 글을 써보려고 한다.

 

0.잡소리

 

LOL(이하 롤)을 하는 사람이라면 "랭점 몇점이세요?" 라는 질문을 한번쯤은 누구나 받았을 것이다.

"900+ 심해인데 불만있냐" "저 1300++요" "저 2000 좀 넘어요^^"라고 답을 한다면 그 숫자는 무엇인가?

바로 ELO 점수계산법에 의한 자신의 실력 점수이다. Elo Rating System(이하 Elo 시스템)은

미국의 Arpad E Elo교수가 고안한 점수 계산법으로, 본래 체스선수들을 위한 계산법이었으나 그 효율성과 정확성이 입증된 이후 널리 쓰이게 되었다.

 

 

▲ 이 사람이 Elo교수다. "팀운이 없어 심해"라고 생각한다면 이사람을 욕하자

 

 

1.간략한 소개

 

위에서도 말했다시피 Elo 시스템은 체스를 위한 새로 고안된 점수 계산법이다. 왜 새로 고안되어야 했는가?

바로 체스는 (바둑, 장기등의 유사한 류의 게임이 그렇듯이) 시험문제처럼 이 조건에 맞지 않으면 5점 감점 같이 평가할 수 있는것이 아니기 때문이다.

 

아래의 예를 보자.

 

이게 바로 "캐슬링"이라는 체스의 특별 규칙을 사용할 수 있는 상황이다. 간략하게 말하자면, 백(白)팀은 흑팀의 말이 우측 상단과 같이 위치해 경로가 공격받지 않을때 한번에 한 말만 움직일 수 있는 기본 규칙에서 벗어나 1a의 룩을 1d로, 1e에 있는 킹을 1c로 한번에 두 말을 움직일 수 있다. 반대로 있다면 반대 방향으로 가능하다.

 

이러한 특수 규칙의 이해를 롤의 벽넘기, 베인 등의 벽꿍각 같이 게임에 대한 이해로 환산해 생각해 본다면, 분명 이해도가 높은 사람이 더 뛰어난건 사실이지만, 많이 안다고 이기는건 아니며(레이팅 800+,입롤 3000++가 실제 레이팅&입롤 2500 을 이길 수 없듯이) 역으로 상대와 비슷하게 알고 있다는 것이 실력이 비슷함을 나타내는 말은 아니다.

 

위의 "캐슬링"의 예에서도 세계챔피언이 캐슬링을 했고, 나도 캐슬링을 했다고 둘 간에 실력이 비슷함을 나타내는 말은 아니다. 그렇기 때문에 체스의 각각의 무브로 실력을 평가하긴 어렵기 때문에 결국 승과 패라는 전적을 바탕으로 점수 계산법을 만든 것이다.

 

 

2.특징

 

Elo 시스템의 특징은 이런 배경에서 나온다. 바로

 

(1) 승패(결과)만 따질뿐 과정은 고려하지 않는다

 

라는 것이다. 즉, 롤로 따지면 아무리 캐리를 한 사람이건, 솔킬을 9번 당했지만 팀원이 캐리해 이긴 사람이건 1승은 같게 인정되고, 20분에 cs 240개 먹은 사람이나 40개 먹은 사람이나 같이 졌다면 둘 모두 단순히 1패로 처리된다는 것이다.

"아 내가 실력은 금장인데 팀원이 너무 못해서 심해로 떨어진거다" 는 말이 나올 수 있는 것도 이런 특징 때문이다. "아무리 봐도 불합리하다! 어떻게 똥싼 놈이랑 캐리한놈이랑 같게 치냐?" 라는 질문에 대해 답을 한다면, 이 점수 계산법은 단일 게임을 바탕으로 하는것이 아니기 때문이다. 학교 기말고사라던가 면허시험같이 한번의 시험으로 결정되는게 아니기 때문이다.

 

LOL 토론게시판의 영원한 떡밥인 "랭겜은 운이냐 실력이냐"에 실력론을 주장하는 사람들의 "게임수가 많으면 실력력에 맞는 점수에 수렴한다"라는 말이 Elo의 원리에 맞는 설명이다. 왜 많이 해야만 수렴되는가? 하는 질문은 넌센스다. 물이 왜 1기압에서 섭씨 100도일때 끓는가와 같은 질문인데, 1기압에서 물이 끓는 온도를 100도로 정했기 때문인 것처럼 이 "많은 전적을 바탕으로 점수를 매기는 것이 Elo 시스템이기 때문에 많이 해야만 자기 정확한 점수로 간다"는 해석이 더 정확한 순서다.

 

조금 아래에서 더 자세히 말하겠지만, AI 1200승으로 랭크 시작하는 사람과 노말 500승하고 랭크 시작하는 사람의 랭크 시작점수가 같은건 "여기부터 새로운 게임이니까 지금까지의 과정은 무시하고 앞으로 승패만 본다"라는 원리가 들어있기 때문이다.

 

(2) 처음에는 점수 변동폭이 크다

 

시작점이 같은건 어찌보면 상당히 불평등한 것이다. 배치 24연승으로 1900++에 안착한 링트럴과 배치가 끝나보니 내 점수가 세자리더라 하는 사람이 배치 첫게임을 상대로 만났다면 일방적으로 지는게 정상이다. 1700대 유저의 부캐가 첫 배치에서 양학을 하는것도 불평등한 일이다. 특히 40점의 점수가 갈리는 배치에서라면.

 

하지만 오히려 그래서 있는것이 배치고사다. 만약 첫 게임부터 16점이 승마다 올라간다면, 2200++는 2000까지 자신보다 실력이 아래인 상대들과 최소 50게임을 하며 멘붕을 선사시키고 올라갈 것이다. 이를 20게임 내외로 줄여 최대한 빠르게 자기의 위치로 보내는게 배치&준배치인 것이다.

 

"실력이 여기보다 높은놈이면 어서 올라가고, 떨어지는 놈이면 어서 내려가서 너네 실력대랑 놀아라" 라는 원칙이 반영된 것이다. 말로만 있고 실제로는 없다는 20판 연속 트롤러 만나 심해가 되었다 하는 사람을 위해 시즌 말마다 초기화도 있는 것이고 말이다.

 

3. Elo의 개념

 

Elo 시스템은 상대에 대한 "승률"을 나타내는 점수법이다. 1600은 1400보다 1200과의 편차가 400대 200으로 두배 더 크므로 2배 잘한다는 식의 실력 측정법이 아니다.

 

대략 레이팅 차이에 의한 예상되는 승률은 아래와 같다.

 

일반확률함수를 따르고 있다는 점을 알 수 있다. 여기서 1은 Elo 시스템에서는 대략 200점을 의미한다. 상대보다 200점이 높다면 그래프에서도 볼 수 있듯이 80% 정도의 승률을 보일 것이라고 예상할 수 있는 것이다. 물론 이것은 수학적인 그래프이기 때문에 완벽하게 이대로 모든 승률이 나타나는 것은 아니지만,

 

Elo 시스템이 기본적으로 가정하는것은 두가지이다..

 

(1) 매 경기에서 모든 플레이어는 "일정한 수준"을 보인다

 

이 말인 즉슨, Elo는 트롤링같이 의도적인 것이던, 기분이 안좋다던지 피곤함같은 환경적인 것이던 실력을 저하시키는 요소의 개입을 고려하지 않는다. 수학적으로라면 1400의 실력을 가진 사람이 연패로 하루만에 1200으로 내려간다는 건 불가능에 가깝지만, 현실에서는 "말렸다"라는 말처럼 심리 상태가 중요한 역할을 하기때문에 적은 판수와 몇번의 등락으로는 정확한 실력의 파악이 어렵다.

 

다만 수학이 언제나 그렇듯이, 표본이 많다면 확률적으로 자기 점수에 수렴하게 된다는건 변함이 없다.

 

 

(2) 모든 플레이어들의 실력은 정규분포를 따른다.

 

 

그렇습니다. 중등교육과정을 이수했다면 누구나 한번쯤은 보고 들었을 그 그래프다. Elo 시스템의 레이팅이 정규분포를 따를 수 밖에 없는 이유는 정규분포 그래프를 설명하는 이론 중 하나인 "모래상자" 이론에 정확히 합치되기 때문이다.

 

모래상자 이론의 이해를 돕기 위해서 많이 보던 수학문제의 그림을 옮겨와봤다.

 

발로 그렸다

 

맨 위에 있는 점에 구슬을 넣고, 구슬은 선을 따라 이동하는데, 갈라진 지점에서 왼쪽이나 오른쪽으로 갈 확률이 2분의 1일때, 아래에 있는 각 점에 도착할 확률을 구하는, 기본적인 확률 문제다.

 

왼쪽부터 64분의 1, 64분의 6, 64분의 15, 64분의 20, 64분의 15, 64분의 6, 64분의 1로 가운데가 가장 높다. 이런 구조를 아래로 무한히 확장하고, 선 간의 간격을 무한히 좁히고, 구슬을 무한히 작게, 모래처럼 만든다고 가정합시다. 모래가 수많은 갈림길을 거쳐갈수록 가운데는 그 변동폭이 줄어들긴 하지만 점점 도착하는 수가 많아지고, 양측은 줄어들게 된다.

이렇게 수렴하는 수준까지 무한히 과정을 반복한것이 "정규분포" 곡선을 따르게 된다는게 모래상자 이론이다.

 

이를 롤에 적용시켜보면, 왼쪽으로 가는걸 패, 오른쪽으로 가는걸 승이라고 치환해 해석한다면, 10명중 절반은 이기고, 절반은 지며 비슷한 실력자와 매칭하므로 승률도 50%, 정확하게 대입할 수 있다. 결국 위의 형태가 롤의 랭크 게임의 수에 따라 확장되고, 결국 모래가 그렇듯이 사람들의 레이팅도 정규분포를 이루게 되는 것이다.

 

 

4. Elo의 원리

 

 

Elo는 상대방과 나의 Elo 비교를 통해 예상되는 승률을 예측하고, 실제 승률과 비교를 통해 이번 경기에서 나타난 실력과 비슷하게 점수가 조정되는 원리를 가지고 있다. 본래 ELO를 처음 사용하기 시작되었던 체스의 경우 공식 경기는 16인이 리그전을 벌이는 Round-Robin이라는 방식을 사용해 자신을 제외한 15명의 Elo 평균과 자신의 Elo를 대조해 예상되었던 승률과 실제 거둔 승률을 바탕으로 점수가 계산된다.

 

앞에서도 말했듯이, Elo는 결과만을 두고 판단하기 때문에, 20분 칼서렌으로 이겼던, 50분 극후반 게임으로 이겼던 상관하지 않는다. 한명이 나가서 진 경우도 패배로 처리합니다. 아이러니라면 팀에서 한명이 나갔지만 그 팀이 이긴 경우 나간 사람도 승으로 처리된다. 물론 롤의 경우 랭겜 탈주자는 그 게임에서 나머지 팀원이 이겼다면 얻은 점수를 다시 회수하게 된다. 만약 전적 기록에 "탈주"라는게 없었으면 "승리"라고 기록되었을 것이라는 말이다.

 

롤의 경우는 약간 다른데, 매 게임이 끝날때마다 점수 변동이 있기 때문에, 상대방 팀의 레이팅(단순히 상대 팀의 플레이어들 레이팅의 평균과는 다르게 특정한 공식이 있는 것으로 알려져 있습니다)과 자신의 레이팅을 비교해 1전을 치뤘을때 예상 승률을 바탕으로 점수 변동을 결정하는 형식입니다.

 

팀의 레이팅이 단순한 평균과 다른 이유는, 대표적으로 랭크 듀오는 패널티가 있기 때문이며, 체스에서는 A선수가 B선수를 이긴것이 C와 D선수의 경기에 영향을 주지 않는것과는 달리 상대 탑라인이 흥하면 아군 봇라인이 어려워지는 것과 같이 영향을 주는 것이나, 속칭 "하드캐리" 라는 2인분 플레이어가 나올 수 있다는 점 때문에 단순히 평균으로 계산하기 어렵기 때문이다.

 

 

5-1. 랭점의 시즌 2에서 LP의 시즌 3로!

 

시즌 막바지에 수많은 대리랭이며 버스며 트롤링이며 세기말적인 광경이 보였으나 결국 그들을 기다리던 건 소프트 리셋과 1승당 1점씩 올라가는 가혹한 MMR제도의 도입이었다. 역시 정의는 승리한다!

 

각설하고, 시즌 2는 이기거나 지거나 자신의 랭크 점수가 변동하고, 그에 따라 동장, 은장, 금장 등의 티어가 결정되는 상당히 직관적인 방식이었다.

 

Q. 너 몇 점이냐? A. 1400점인데

 

라는 대화에서 아 저놈은 같은 은장이지만 1300인 나보다는 잘하고 1480보다는 내 친구보다는 못 하겠구나 하는 식의 추론이 가능했다.

 

하지만 시즌 3로 넘어오면서 랭점은 수많은 롤 유저들의 희노애락을 결정하는 티어와 LP, 그리고 그 둘을 배후에서 결정하는 MMR이라는 3원 구조로 변하게 된다. MMR이 낮아서 LP가 안오르는건가? MMR이 높아서 안오르는 건가? 진실은 무엇인가?

 

 

5-2. MMR은 무엇인가?

 

MMR은 Match Making Rating의 약자로, 너님이 누구와 게임을 하게 되는지를 결정한다. 시즌 2의 랭점과 가장 근사한 요소라고 보면 된다. 금장 찍었으니 트롤해야지^^ 하는 금장 5티어 LP 0점에 갇힌 사람들이 실버, 심지어는 브론즈와 매칭되는 것은 MMR이 그 사람들과 비슷하기 때문이다.

 

기본적으로 브론즈 1, 실버 4, 골드 3같이 각 티어에는 일정한 기준 MMR이 있다. 정확한 수치는 일반 유저는 알 수도 없고 라이엇 코리아에 문의를 해도 알려주지 않지만, 이미 시즌 3 시작 이후 수만, 혹은 수십만 게임이 진행된 현재로서는 각종 티어와 전 시즌 랭크 점수 백분위 비교자료들이 정확도가 높을 것이라고 추측할 수 있다.

 

MMR이 자신의 현 티어보다 너무 낮으면 무슨 일이 발생하는가? 유저는 자신의 수준에 맞는 상대들과 비등한 게임을 해서 이겼지만, 전반적인 해당 티어의 기준 실력(기준 MMR)로 보면 당연한 수준의 결과일 뿐이다. 그렇기 때문에 "이겼는데 1점, 2점밖에 LP가 안오르더라!“라는 현상이 나타나는 것이다. 당연히 연승을 하게되면 MMR이 상승, 기준 MMR에 비해 낮은 정도가 적어지거나 오히려 높아지게 되어 한 게임당 올라가는 LP가 증가하는 것이다.

 

역으로 MMR이 너무 낮을때 지면 20점씩 내려가는 이유도 당연히 해당 티어에 맞는 실력이라면 이겨야 할 수준의 게임을 졌기 때문에 점수가 크게 내려가는 것이다. 2200++가 800++와 게임했을시 진다면 “너 2200 맞냐?” 라는 말이 먼저 나오는건 당연한거 아닐까?

 

당연히 MMR이 자신의 현 티어보다 높다면 이기면 높은 LP가 올라가고, 지면 낮은 LP가 내려가게 되는 것이다. “왜 저놈은 이기면 20점 지면 10점인데, 난 이기면 5점 지면 20점이냐?”라는 질문에 한마디로 대답해 주자면 “니 티어가 거품이어서 그럼^^”이라는 대답을 할 수 있는 것이다.

 

 

6. ELO 계산의 개론

 

자세한 계산법에 대해 말하기 전에, 이해를 돕기 위해 앞으로 쓰일 약자들의 의미를 정리하도록 하겠다.

 

중간에 오타가 있는 것 같지만 기분탓이다

 

 

위의 약어를 통한 기본적인 계산법을 정리해보면,

 

(식 1) 기본 계산 공식

 

이것이 ELO를 계산하는 방법이다.

이 공식이 ELO가 다른 점수 계산법보다 우월하게 해주는 요소중 하나인데, 상대적으로 실력이 떨어지는 사람은 떨어지는대로, 뛰어난 사람은 뛰어난대로 나름의 핸디캡을 가지고 있다.

 

무슨 말이냐 하면, 레이팅 1500이 8명 모여있는 게임에 레이팅 1000 1명과 레이팅 2000 1명이 참여했다면, 레이팅 2000은 레이팅 1000보다 훨씬 더 뛰어난 성적을 거둬야만 현재 점수를 유지할 수 있는 것이다. 반대로 레이팅 1000은 2000보다 승률이 확연히 낮아도 점수가 오히려 오를 수도 있는 것이고.

 

(식 2, 3) 예상 승률 계산 공식

 

예상 승률을 구하는 방법이다. 아래의 식과 위의 식은 전체의 합을 계산하는 방법에서 각각의 값을 모두 더할것인지, 평균의 총 요소의 갯수를 곱하는지의 차이일 뿐이므로, 같은 식임을 알 수 있다.

 

K는 상수니까 정하기 나름이라고 치면, 결국 점수 계산을 위해 알아야 하는건 승률을 레이팅으로 변환하는, Pi와 P(Dc)라고 할 수 있다. 이 계산은 2편에서 업로드했던 일반 확률 함수 곡선을 이용하므로, 그자리에서 계산한다는건 힘들다.

 

그럼 아마추어들은 어떻게 자신의 점수를 계산하나?

 

(식 4) 간소화된 계산 공식

 

이 공식을 쓴다. C = 200인 상수다. 확실히 위의 점수 계산식보다는 구하기 쉬운 요소들로 이루어져 있다는걸 알 수 있다. 이 식이 첫 공식과 같은 식이라는 증명은 가장 아래에서 하겠다.

 

 

7. 승률 - 레이팅의 변환

 

로딩화면에서 적 닉네임을 검색해보고 아군과 비교해보며 이길 가능성을 따지는 레이팅 - 승률 변환이 가능한 것처럼, 당연히 승률을 통해 상대방과 나의 정확한 실력에 따른 레이팅 차이를 유추하는 것 또한 가능하다.

승률-레이팅 혹은 레이팅 - 승률 변환은 아래 표를 따라 계산할 수 있다.

(표 1) 레이팅 - 승률 환산표

 

 

이 표를 읽는 방법은, 각 줄의 D만큼 점수가 차이날때, 점수가 높은 사람은 H만큼, 낮은 사람은 L만큼의 승률을 가진다는 것이다.

 

소수 셋째 자리에서 반올림해 나타낸 것이며, 근삿값을 구하는 다른 공식은 2편의 댓글로 Stalkamyu님께서 설명해 주셨다.

가물가물하단 말은 훼이크였는지 상당히 정확하다는게 함정이다.

 

이제 다시 한번 계산 공식을 보면,

에서 Ro는 현재 자신의 점수이고, W는 승리 수, We는 Pi를 위의 표를 통해 상대방과 나의 레이팅 차이를 예상 승률로 변환해 계산할 수 있으므로 알수 없는건 점수변동상수 K뿐이다.

 

8. K와 배치고사

 

경기가 끝났다. 경기 시작 전에 We는 계산되어 있었을 것이므로 새 점수를 계산하기 위한 요소 중 세가지, 이전 점수, 예상 승률, 실제 승률은 이미 정해졌다. 그러면 새 점수를 계산하는 변수는 K이다.

 

K가 커지면 커질수록 점수 변동폭이 커지고, K가 작으면 작아질수록 점수 변동폭이 작아진다. 이기면 많이 오르고, 지면 적게 내려간다. 익숙한 개념인데?

 

배치고사가 바로 K가 평소보다 높은 때다. 이건 체스도 마찬가지인데, 등록되고 나서 이후 일정 경기의 점수 변동폭은 크게 설정되어 있다. 이는 Robert Fischer라는 불세출의 플레이어가 나오기 전까지는 도입되지 않은 시스템이었다.

 

Robert Fischer는 당시 정식 등록 나이였던 13살 이전에도 탁월한 실력으로 유명했고, 등록 이후 높은 레이팅, 즉 천상계에 안착할 것이 당연시되는 수준이었다. 그런 사람이랑, 취미로 체스 가끔 하는 양민이랑 같은 날 등록되었다고(같은 날에 첫 랭겜을 돌렸다고) 10연전을 치루게 한다고 생각해보자. 당연히 Fischer가 완승할 것이고, 진사람은 멘붕할것이다. 당연히 공평하지 않은 룰이다. 롤에 대입시켜 생각해보자.

 

당신은 점수가 보이기를 희망하는 1100++ 유저이다. 부캐를 만들었다. 30레벨을 찍고 배치고사 첫 큐를 돌리는 순간에, 하필 2200++ 다이아 유저의 부캐도 배치고사 첫 큐를 돌린다. 나는 3픽, 상대도 3픽. 시작했다. 하필 같은 라인이다. 일방적으로 밀릴 확률이 99%이다. 졌다.다음판 큐를 돌린다. 나는 4픽, 상대는 2픽 또 만난다. 또 진다. 또 적으로 나는 5픽, 상대는 1픽으로 만난다.

 

이러면 누구나 "아 X발 이게 뭐야!"라는 말을 할 수 밖에 없게 되지 않겠는가? 즉 잘하는놈은 빨리 올라가고, 못하는놈은 빨리 내려가서 서로 민폐끼치지 마라는게 배치고사의 존재 이유인 것이다.

 

배치고사에서는 높은 K값, 준배치에서는 중간 수준의 K값, 그 후에는 낮은 수준의 K값으로 K값을 변동해가며 점점 레이팅은 자신의 점수에 수렴해가게 된다.

 

9. 계산식의 예

 

백날 설명해도 예시 없으면 이해가 어렵다. 위에서 다 예를 들어줬음에도 불구하고 또 예를 들어주는 이유는? 내가 친절한 사람이기 때문이죠^^는 개소리고 독자가 이해를 못한다면 글 쓴사람도 쓴 의미가 없어지는 것이니까. 아래와 같이 16개팀이 존재하는 대회가 있다고 가정해 보자. 모두가 모두를 상대로 두경기씩 해서 승무패가 모두 나올수 있다고 하자. 무승부를 0.5승으로 계산한다고 가정했을때 아래와 같은 결과가 나왔다고 가정하자.

적혀 있는 레이팅은 대회 시작 전의 각 팀의 레이팅이라고 가정한다.

 

이 상황에서 나진 소드의 새 점수는 어떻게 결정되는지를 통해 계산을 실제로 해보고자 한다.

 

점수변동상수 K = 10인 대회라고 가정하자. 세가지 계산 방법을 모두 활용해 보겠다.

 

1. 식 1 + 예상 승률 계산 공식으로 식 2를 활용했을 때

 

나진 소드의 다른 팀과의 점수차를 구해 각각의 상대에 대한 예상 승률을 구한다.

(계산은 생략한다)

표 1을 이용해 계산해 보면 나진 소드의 각 팀에 대한 예상 승률은 순서대로

0.55 , 0.55, 0.61, 0.58, 0.53, 0.72, 0.62, 0.55, 0.67, 0.61, 0.78, 0.72, 0.7, 0.75, 0.73 으로,

합은 9.66이다. 즉, 각 팀과 한세트 씩 플레이를 했을때 예상되는 승수는 9.66승이라는 말이다.

 

2. 식 1 + 예상 승률 계산 공식으로 식 3를 활용했을 때

 

나진 소드와 다른 팀 점수의 평균과의 편차를 구한다.

이경우 나진 소드를 제외한 나머지 참가팀들의 점수 평균은 2527점. 2635점의 나진 소드는 이보다 108점이 높다. 표 1에서 상대방보다 108점이 높은 경우 대략 0.65 의 승률을 가지므로, 이렇게 15경기를 한다면 예상 승수는 0.65 X 15 = 9.75이다.

 

방법 1을 활용한다면 (새 점수) = 2635 + 10(10.5 - 9.66) = 2643.4 이다.

방법 2를 활용한다면 (새 점수) = 2635 + 10(10.5 - 9.75) = 2642.5

오차가 있는것은 위의 계산이 정확한 값이 아니라 표를 통한 근삿값을 대입했기 때문이어서이고, 설령 그렇다고 하더라도 1점 내외라는 무시할만한 수준으로 작다.

 

3. 식 4를 활용했을때

나진 소드의 전적은 10.5승이다. 즉, 15전 10승 1무 4패라는 말이므로

새 점수 = 2635 + (10 X 6)/2 - (10 시그마 Di)/800 = 2645.75로, 간소화한 식으로 계산한것 치고는 상당히 정확함을 알 수 있다.

 

10. 부록

* 우선 식 4와 식 1간의 유사성은 다음과 같이 증명할 수 있다.

 

참고 서적 및 자료

 

서적

 

The Rating of Chessplayers : Past & Present (Arpad E. Elo, ISHI PRESS 1978)

 

각종 자료 링크

 

http://math.bu.edu/people/mg/ratings/approx/approx.html

http://www.fide.com/fide/handbook?id=73&view=article

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